Bayesova věta je matematický vzorec pro určení podmíněné pravděpodobnosti. Ve financích lze Bayesův teorém použít k posouzení rizika půjčování peněz potenciálním dlužníkům. Aplikace Bayesova teorému jsou široce rozšířené a neomezují se pouze na finanční oblast. Podívejme se tedy, co je Bayesova věta, jak se počítá a jak ji aplikovat na několika příkladech.
Co je Bayesova věta
Bayesův teorém, pojmenovaný po britském matematikovi z 18. století Thomasi Bayesovi, je matematický vzorec pro určení podmíněné pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost, že k výsledku dojde, vzhledem k tomu, zda k předchozímu výsledku došlo za podobných okolností. Bayesův teorém umožňuje revidovat existující předpovědi nebo teorie (aktualizovat pravděpodobnosti) na základě nových nebo dodatečných důkazů. Ve financích lze Bayesův teorém použít k posouzení rizika půjčování peněz potenciálním dlužníkům. Věta se také nazývá Bayesovo pravidlo nebo Bayesův zákon a je základem oblasti Bayesovské statistiky.
K čemu slouží Bayesova věta?
Aplikace Bayesova teorému jsou široce rozšířené a neomezují se pouze na finanční oblast. Například Bayesův teorém lze použít k určení přesnosti výsledků lékařských testů tím, že se vezme v úvahu pravděpodobnost, že daná osoba má onemocnění, a celková přesnost testu. Bayesův teorém je založen na začlenění dřívějších rozdělení pravděpodobnosti ke generování pozdějších pravděpodobností. V bayesovské statistické inferenci je předchozí pravděpodobnost pravděpodobnost, že k události dojde před shromážděním nových dat. Jinými slovy, představuje nejlepší racionální posouzení pravděpodobnosti určitého výsledku na základě současných znalostí před provedením experimentu.
Jaký je vzorec pro Bayesovu větu?
Posteriorní pravděpodobnost je revidovaná pravděpodobnost, že k události dojde po zohlednění nových informací. Posteriorní pravděpodobnost se vypočítá aktualizací předchozí pravděpodobnosti pomocí Bayesova teorému. Ve statistických termínech je posteriorní pravděpodobnost pravděpodobnost, že událost A nastane, pokud nastala událost B. Bayesův teorém tedy udává pravděpodobnost, že událost nastane na základě nových informací, které jsou nebo mohou být k dispozici . Vzorec lze také použít k určení, jak může být pravděpodobnost výskytu události ovlivněna hypotetickými novými informacemi, za předpokladu, že se nové informace ukáží jako pravdivé.
Vysvětlení vzorce Bayesovy věty.
Příklady použití Bayesovy věty
Níže uvedu dva příklady Bayesovy věty, kde první příklad aplikuje Bayesovu větu na dechové zkoušky. Druhý příklad ukazuje, jak lze vzorec odvodit v příkladu investování do akcií pomocí Nvidie (NVDA).
Numerický příklad Bayesovy věty
Jako číselný příklad si představme, že existuje dechová zkouška, která je 98% přesná, což znamená, že 98% případů vykazuje skutečně pozitivní výsledek u někoho, kdo požil alkohol, a 98% případů vykazuje pravdivý výsledek. negativní výsledek pro konzumenty nealkoholických nápojů. Dále předpokládejme, že 0,5 % lidí konzumuje alkohol. Pokud má náhodně vybraná osoba pozitivní test na alkohol, lze následujícím výpočtem určit pravděpodobnost, že daná osoba je skutečně konzumentem alkoholu.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76, XNUMX %.
Bayesův teorém ukazuje, že i když je člověk v tomto scénáři pozitivně testován, existuje přibližně 80% šance, že nebude konzumovat alkohol.
Odvoďte vzorec Bayesovy věty
Bayesův teorém jednoduše vyplývá z axiomů podmíněné pravděpodobnosti, což je pravděpodobnost nějaké události za předpokladu, že nastala jiná událost. Jednoduchá pravděpodobnostní otázka může například znít: "Jaká je pravděpodobnost, že cena akcií Nvidie půjde dolů?" Podmíněná pravděpodobnost posouvá tuto otázku ještě o krok dále: „Jaká je pravděpodobnost, že cena akcií NVDA klesne vzhledem k tomu, že index Nasdaq (NDAQ) klesl dříve? Podmíněná pravděpodobnost A za předpokladu, že se stalo B, lze vyjádřit jako: Jestliže A je: „Cena NVDA klesá“, pak P(NVDA) je pravděpodobnost, že NVDA klesá; a B je: „NDAQ již klesla“ a P(NDAQ) je pravděpodobnost, že NDAQ klesla; pak se výraz podmíněné pravděpodobnosti čte jako „pravděpodobnost, že NVDA klesne při poklesu NDAQ, se rovná pravděpodobnosti, že cena NVDA klesne a NDAQ klesne nad pravděpodobnost poklesu indexu NDAQ“.
P(NVDA|NDAQ) = P(NVDA a NDAQ) / P(NDAQ) P(NVDA a NDAQ) je pravděpodobnost, že dojde k A i B. Je také stejná jako pravděpodobnost výskytu A vynásobená pravděpodobností výskytu B za předpokladu, že nastane A, vyjádřeno jako P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA). Skutečnost, že se tyto dva výrazy rovnají, vede k Bayesově větě, která se zapisuje jako
ano, P(NVDA a NDAQ) = P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA) = P(NDAQ) x P(NVDA|NDAQ)
pak P(NVDA|NDAQ) = [P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA)] / P(NDAQ). Kde P(NVDA) a P(NDAQ) jsou pravděpodobnosti, že Nvidia a Nasdaq padnou bez ohledu na sebe. Vzorec vysvětluje vztah mezi pravděpodobností hypotézy před zobrazením důkazu, že P(NVDA), a pravděpodobností hypotézy po získání důkazu P(NVDA|NDAQ), vzhledem k hypotéze pro Nvidii na základě důkazů v Nasdaq.